细分外推与模糊预测在近海水质非线性时序处理中的比较分析

(1.大连海洋大学理学院，辽宁大连 116023；2.大连海洋大学海洋与土木工程学院，辽宁大连 116023;3.山西交通职业技术学院，山西太原 030031)

摘要:近海水质非线性时间序列通常由于采集范围大、时间间隔长带有一定震荡性和模糊性，这使得对其进行分析与预测有一定的难度。本研究中以某近海水质指标磷酸盐-P)、硝酸盐-N)、亚硝酸盐-N)、铵盐-N)和硅酸盐-Si)所形成的5种时间序列为例，采用逼近细分模式导出的细分外推法和多参考加权数据的模糊预测法对近海水质时序预测进行了比较分析，并通过图形与误差计算比较了两种方法的异同。结果表明：采用细分外推法预测序列在整体形状上能更好地逼近初始时序，而模糊预测法在整体逼近精度上占有优势。本研究中提出的预测比较方法可为同类问题的预测与模型选取提供参考依据。

对近海水质监测时，要按照国家海水水质标准设定的监测指标，在采样点进行定时数据监测。监测所得时间序列具有如下三大特点：一是，不同水域、不同时段、不同指标、不同度量标准所形成的时间序列既有一定的波动范围和趋势，又有一定的模糊性；二是，由于数据测量的间隔时间较长，可以将其视为是连续时间序列的离散化表示；三是，由于水域范围大，每次测量值的计算需要对监测点数据进行某种综合，因此，数据会有一定的误差。此外，随着海洋水质监测系统[1]的建立，海洋数据的海量、实时特性都给分析与预测带来更大的困难。鉴于上述特点，对这类序列预测时如果采用经典的ARIMA模型[2-3]方法很难预测序列的震荡性，而采用混沌时间序列的相空间重构方法[4-5]计算又比较复杂且计算工作量大。因此，找到既能反映时间序列整体变化趋势又能很好地反映其震荡性的模型进行建模具有重要的意义。

曲线细分方法[6-7]是计算机辅助几何设计中常用的方法，它通过对初始控制多边形施行一定的细分规则，使得控制多边形不断细化生成光滑极限曲线。细分曲线的光滑逼近性质为构造反映近海水质非线性时间序列整体变化趋势的模型提供了理论依据，本研究中尝试用细分规则反推算，得到细分外推法。模糊预测方法[8-9]在预测带有凹凸性的时间序列时具有良好的特性，在参数选取适当的条件下，它的逼近程度兼顾了时间序列整体以及局部的特征。本研究中通过将细分外推法与模糊预测方法作用于几个典型的近海水质非线性时间序列进行比较分析，期望探究这两种方法在分析近海水质非线性时间序列的可靠性、差异性和适用性。

本研究中，在某海域海洋生态监测站水质监测数据的时间序列中选取磷酸盐

-P)、硝酸盐

-N)、亚硝酸盐

-N)、铵盐

-N)和硅酸盐

-Si)5个指标的时间序列作为例证，给出某海域、某时段监测得到的这5个指标的初始时间序列，并采用细分外推法和模糊预测法对磷酸盐、硝酸盐、亚硝酸盐、铵盐、硅酸盐作用所得预测序列与初始序列进行了比较。

1　细分外推法

细分技术是在计算机辅助几何设计和曲面造型中广泛使用的方法。随着细分理论研究的深入和细分技术的成熟，其具有拓扑任意性、表达一致性、可伸缩性、数值稳定性、代码简单性等良好特性，使得其应用越来越广泛。假设有初始控制点列构成的初始控制网格，细分是将细分修改规则作用到初始控制网格上产生新的控制网格，使得新生成的网格不断细化，最终生成光滑极限曲面的过程。细分方法中的细分规则是决定其极限性质的关键因素，而曲面细分规则是由曲线细分规则通过张量积方法获得。时间序列分析仅需曲线细分方法即可，本研究中使用的细分指的是曲线细分方法。而细分又分为插值细分和逼近细分两种，由于逼近细分每次修改不仅产生新的控制点,而且还修改原控制点，通常逼近细分比插值细分更容易达到一定光滑度的要求，故本研究中采用逼近细分模式。

二重逼近细分模式参见文献[10]。

设有初始控制点列

)组成的初始控制网格，也将其记为第0层控制点，将细分修改规则作用于初始控制点列P0上产生新的第1层控制点列，记为P1，其所含的第i个控制点记为

。依次类推，第j层控制点列记为Pj，其所含的第i个控制点记为

。由第j层控制点列细分产生新的第j+1层控制点列的修改规则如下：

其中，0≤w<1/16，则该细分模式产生的极限曲线具有C2光滑度。

1.2　细分外推法

假设某时间序列按等距序排列，其值记为

)，这里P0代表初始时间序列值。由于预测时需要一定的初始数据，这里假设预测值从第5个值开始，前面第1、2、3、4点的时序预测值视为与初始时序的前4个时序值相等，设

t+2)为对初始控制点列的预测值。采用细分外推法由初始预测值

外推产生预测值

i+2的实现步骤如下。

步骤1　数据加细。采用细分模式(1)对初始数据进行微调并按规律做数据添加。

为了通过公式(1)给出的细分规则对初始控制点列进行一次细分，先做数据准备，重复记初始点

，并按序添加到初始控制点列的最末端，并记

。之后参照公式(1)中的第一个公式计算

，参照公式(1)中的第二公式计算

。这里新生成的数据

可看作是新添加的加细数据点，而

可以看作是对初始数据的修正，所形成的第1层数据点列比初始控制点列增加了光滑度，反映了数据整体的趋势特性。具体公式如下：

公式(2)与公式(1)相比，

共重复了两次，这是由于设定

的原因。这种将最末点重复计算一次的办法仅是对控制点的调整，按细分原理不影响极限曲线的光滑性。

步骤2　外推预测。依据加细了的调整数据

、原序列最末端数据值

和细分公式(1)中的第二个公式，给出外推预测公式如下：

其中，0≤w<1/16。

由于仍然采用细分模式的公式，所以，光滑性得到有效保持，又由于采用了加细的新点进行外推预测，因此，预测属于小步谨慎预测。

1.3　细分外推法的实证分析

在实际预测中，将每组数据的66个数值视为等距的时间序列值，时序序号从1开始记，步长为1，时间序列的最大、最小值见表1。假设由第2、3、4点的时序值预测第5个点的时序值，即i+1=4。利用第2、3、4点的时序值以及公式(2)的第一个公式计算可得

，利用第3、4点的时序值以及公式(2)的第二个公式计算可得

，之后利用

和

以及外推公式(3)计算可得预测值

5。一般地，采用公式(2)中的第一个公式对数据加细，得到

，采用公式(2)中的第二个公式对数据加细，得到

。数据

可以看作是对初始数据的修正，

则可看作是新添加的加细数据点，所形成的第1层数据点比初始控制点列增加了光滑度，反映了数据整体的趋势特性。在运用公式(3)进行外推预测

i+2时，可以微调参数w，本研究中取w=1/20。在预测时，实际已知的点截止到

，数据加细公式与外推计算公式均在细分方法的基础上进行了调整，这个调整相当于对最后时序值进行了重叠设计。由于细分产生光滑曲线的本质是由细分规则决定的，因此，这种设计不影响细分结果的光滑效果，加细与外推方案具有可靠性。采用细分外推法获得预测序列与初始序列的比较结果(图1的左侧图)显示了该方法的有效性。

2　模糊预测法

由于近海水质时间序列具有一定的模糊性，利用模糊时间序列的方法对其进行预测是可行的。Hwang等[8]、Singh[9]对模糊时间序列的使用范围、一般建模原则提出了新方法。Singh[11]从以提高预测精度为出发点的算法改进上进行了研究，给出了有效的建模方法与实证分析，就同类问题的预测精度而言，该算法中提出的预测算法更为有效，故本研究中采用Singh[11]中的预测方法对数据进行预测，具体的算法步骤如下。

(1)构造论域。以可获得的时间序列{Ti}为基础，定义论域U=[Tmin-D1,Tmax+D2]，其中Tmin、Tmax分别为时间序列的最小、最大值，D1、D2为所选取的适合的正整数。根据表1各指标的最大、最小值，对磷酸盐、硝酸盐、亚硝酸盐、铵盐和硅酸盐这5种盐类时间序列构造论域(见表1后两列)。值得一提的是，虽然水质数据监测值不会是负值，但为了预测整体的数学可靠性，给出了适当的负参考值，实际预测时，当预测为负值时，可以以零记。

表1　某近海水域5种盐类时间序列的最大、最小值和论域范围值

Tab.1　Maximum-minimum and the range of the universe of discourse of the five salt time series collected in coastal water areas

(2) 划分论域U为等区间。所构造的等区间的个数要与以下要定义的模糊集个数相一致。本研究中构造7个等区间u1～u7如下，设:

(3) 构造7个模糊集A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7。模糊集的隶属度函数按如下方式定义：

A1= 1/u1+0.5/u2+0/u3+0/u4+0/u5+

A2= 0.5/u1+1/u2+0.5/u3+0/u4+0/u5+

A3= 0/u1+0.5/u2+1/u3+0.5/u4+0/u5+

A4= 0/u1+0/u2+0.5/u3+1/u4+0.5/u5+

A5= 0/u1+0/u2+0/u3+0.5/u4+1/u5+

A6= 0/u1+0/u2+0/u3+0/u4+0.5/u5+

A7= 0/u1+0/u2+0/u3+0/u4+0/u5+

采用三角隶属函数对时间序列数据进行模糊化，并建立模糊逻辑关系

Aj。

(4) 多参考数据加权进行预测计算。设Ti为时间序列的实际值，当某数据值落入某uj区间时，就对应模糊集Aj。记

其中,n=1/6，1/4，1/2，1，2，3。如果6对

数落入到uj区间内，就将uj区间的中值计入预测值的考虑范围。最后将6对

数所落入的全部uj区间中值进行加权平均，所得结果即为预测值。采用模糊预测法获得预测序列与初始序列的比较结果(图1的右侧图)显示了该方法的有效性。

3　对预测结果的比较分析

细分外推法是对待预测值之前的3个初始值，利用细分能产生光滑极限曲线这个理论，采用四点逼近细分模式推导而得。由于细分过程始终关注邻近点的光滑性，因此，预测的整体形状比较好。外推需要一定的基本数据，本例中假设第1层点P1的前4个点与初始点第0层P0的前4个点相吻合，预测是从第5个点开始进行的，图1的左侧图中每个序列的前4个点预测值设定为与初始值相同。为了比较细分外推法与模糊预测法，图1的右侧图也就是模糊预测法也做了同样的处理。

模糊预测法通过构造论域，将论域划分为等区间，构造模糊集的方法进行模糊预测，由于本研究中采用文献[11]中的方法，考虑了多参考数据加权，模糊预测的精度较经典的方法有所提高。通常,论域等分区间的设定要根据实际问题考虑，本研究中，结合模糊预测理论与经验设定区间个数为7，预测结果较好地反映了实际情况。从图形结果看，预测序列与初始序列的逼近效果在个别处有较大差异。预测实验计算显示，预测效果还受论域区间上下限设定的影响以及论域等分区间数的影响。

值得一提的是，由于磷酸盐、硝酸盐、亚硝酸盐、铵盐和硅酸盐这5种盐类时间序列的最小值等于或接近于零，为了更好地从纯数学的角度分析预测效果，论域区间的下限设定为负值，这样能更好地反映预测序列与初始序列的逼近程度，在实际分析时预测为负值的序列值可视为零。

为了分析用细分外推法和模糊预测法对近海水质5种盐类时间序列预测的精度，可采用均方误差(MSE)和平均预测误差(APE)进行误差计算。具体计算公式如下：

其中：Δ1为第i个实际值与预测值之差，i=1,2,…,n，n为时间序列中元素个数；Ti为时间序列实际值，i=1,2,…,n。

表2给出了采用细分外推法和模糊预测法对近海水质5种时间序列预测的均方误差和平均预测误差比较结果。其中细分均方误差表示经过细分外推法预测得到的预测序列与初始序列之间的均方误差，细分平均预测误差表示经过细分外推法得到的预测序列与初始序列之间的平均预测误差。同理，模糊均方误差表示经过模糊预测法得到的均方误差，模糊平均预测误差表示经过模糊预测法得到的平均预测误差。由于5种序列各自的最大、最小值有较大差异，所以均方误差仅适合同序列不同方法的比较分析。不同方法作用于这5种序列所得的平均预测误差能反映方法本身的特点。

4　结语

本研究中，首先采用曲线逼近细分模式对每组序列进行加细，即针对近海水质时间序列特点通过细分使离散序列平滑加细，然后结合细分特点给出外推计算公式进行预测，同时采用多参考数据加权的模糊预测法对近海水质时间序列进行了预测分析。通过对预测结果效果图分析以及误差计算比较了两种方法的异同，结果显示，在参数选取适当的条件下，采用细分外推法进行分析预测，能够在时间序列的整体形状上更好地逼近初始时序，而采用模糊预测法的误差计算结果显示，在整体逼近精度上该方法占有优势。但对综合运用多种方法进行预测并未提及，对原数据的预处理比如平滑处理可以更好地运用细分方法等，在这些方面也有很大的改进空间，有待于今后在实际预测时综合参考。

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Comparison of nonlinear times series of water quality analysis in

coastal waters by subdivision extrapolation and fuzzy forecasting

(1.College of Sciences, Dalian Ocean University, Dalian 116023, China； 2.College of Marine and Civil Engineering, Dalian Ocean University, Dalian 116023, China;3.Shanxi Traffic Vocational and Technical College，Taiyuan 030031, China)

Abstract： Usually the nonlinear times series of water quality in coastal waters has uncertainty on analysis and prediction due to certain vibration and fuzziness caused by wide range collection and large interval.-Si) sampled in coastal waters was conducted by subdivision extrapolation, derived from the approximating subdivision scheme, and fuzzy forecasting with much weighted reference data. The comparison of similarities and differences between the two methods through graphics and error calculation revealed that the subdivision extrapolation showed good forecast sequence close to the initial sequence on the whole shape. The fuzzy forecasting method had the advantage of integral approximation accuracy. The findings provide the reference for the solution of the similar prediction and model selection.

Key words： water quality in coastal waters; subdivision extrapolation method; fuzzy forecasting method

作者简介：张丽梅(1965—)，女，博士，教授。E-mail:zlm@dlou.edu.cn

细分外推与模糊预测在近海水质非线性时序处理中的比较分析

1 细分外推法

2 模糊预测法